О приближении функций из пространства $W^r_p(\Omega)$ финитными функциями для произвольного открытого множества $\Omega$

Пусть $W_p^r(\Omega)$ – пространство Соболева функций,
\begin{equation} \|f\|_{W^r_p(\Omega)}=\sum_{\|k|\le r}\|D^kf\|_{L_p(\Omega)}, \end{equation}
где $\Omega\subset E_n$ – произвольное открытое множество. При $p>n$ получен ряд эквивалентных необходимых и достаточных условий, показывающих, в каком смысле должны обращаться в нуль функции $D^kf(x)$, $|k|\le r-1$, на границе $\Gamma(\Omega)$ для того, чтобы функцию $f\in W_p^r(\Omega)$ можно было сколь угодно точно приблизить бесконечно дифференцируемыми финитными функциями по норме (1), например:
$$ \|f\|_{L_p(\Omega-\Omega_\delta)}=o(\delta)^\Gamma, $$
где $\Omega_\delta$ – множество точек $x\in\Omega$, отстоящих от границы $\Gamma(\Omega)$ более, чем на $\delta$, или функция $f$ эквивалентна функции $\overline f$ такой, что для любого $x\in\Gamma(\Omega)$
$$ \lim_{\substack{y\to x \\ y\in\Omega}}D^k\overline f(y)=0,\qquad|k|\le r-1. $$
Исследована связь между возможностью приближения функции $f\in W_p^r(\Omega)$ с любой степенью точности финитными функциями и возможностью продолжения функции $f$ нулем с сохранением класса.
Библиогр. 6 назв.