О структурных и конструктивных характеристиках некоторых классов функций

В статье решается вопрос об эквивалентности структурных и конструктивных характеристик некоторых классов функций, заданных в метрике $\mathscr{L}_{p,\mu}$, где $1\le p<\infty$, $\mu\ge-1/p$,
$$ \|f\|_{p,\mu}=\biggl(\int^1_{-1}|f(x)\sqrt{1-x^2}\mu|^p\,dx\biggr)^{1/p}<\infty. $$
В частности, показано, что условие существования последовательности алгебраических многочленов $P_n(x)$ таких, что
$$ \biggl\|\frac{f(x)-P_n(x)}{(\sqrt{1-x^2}|1/n)^\beta}\biggr\|_{p,\mu}\le \frac{C_1}{n^\alpha}, $$
где $0<\alpha\le1$, $0\le\beta\le1$, эквивалетно тому, что функция $f(x)$ удовлетворяет при $\mu>-1/p$ условию
$$ \biggl\|\frac{f(x)-f(x,t,\mu)}{(\sqrt{1-x^2}|+|\sin t|)^\beta}\biggr\|_{p,\mu}\le C_2|\sin t|^\alpha. $$
где
$$ f(x,t,\mu)=\frac1{\gamma_m}\int_0^\pi f(x\cos t+cos\lambda\sin t\sqrt{1-x^2})(\sin\lambda)^\mu\,d\lambda, \qquad \gamma_m=\int_0^\pi(\sin\lambda)^\mu\,d\lambda. $$
а при $\mu=-1/p$ условию
$$ \biggl\|\frac{f(x\cos t+\sin t\sqrt{1-x^2})-2f(x)+f(x\cos t-\sin t\sqrt{1-x^2})}{(\sqrt{1-x^2}+|\sin t)^\beta}\biggr\|_{p,\mu}\le C_3|\sin t|^\alpha. $$
Отсюда при $\beta=0$ получаем структурную характеристику класса функций, у которых наилучшее их приближение алгебраическими многочленами удовлетворяет условию $E_n(f)_p$, $\mu\le C_4/n^\alpha$.
Библиогр. 16 назв.