Некоторые вопросы динамики групповых действий на корневых деревьях

Эта статья сочетает черты обзора и исследовательской работы. В ней дан обзор некоторых результатов, полученных в последнее десятилетие, связанных с динамикой ветвящихся и самоподобных групп на границе сферически однородного корневого дерева и комбинаторикой и асимптотическими свойствами ассоциированных с группой или ее действием графов Шрейера. Особый акцент сделан на изучение существенно свободных действий самоподобных групп, которые являются антиподом к ветвящимся действиям. В то же время тема “свободное versus несвободное” пронизывает всю статью. Получены достаточные условия существенной свободы действия самоподобной группы на границе дерева. Приведены конкретные примеры таких действий. Приведены конструкции присоединенной динамической системы и шрейеровой динамической системы, порожденной графом Шрейера. Для групп, действующих на деревьях, введен след на присоединенной $C^*$-алгебре, порожденной купмановским представлением, и продемонстрирована его роль для изучения факторов фон Неймана, спектральных свойств групп, графов Шрейера и элементов присоединенной $C^*$-алгебры. Введены понятия асимптотического экспандера и асимптотического графа Рамануджана, и приведены примеры таких графов. Обсуждены вопросы, связанные с понятием цены действия, а также с понятием градиента ранга.