Задача об устойчивости двузвенных траекторий многомерного биллиарда Биркгофа

Рассматривается линеаризованная задача об устойчивости простых периодических движений с упругими ударами: частица движется по отрезку прямой, ортогональному в своих концевых точках границе биллиарда. В этой задаче естественным образом переплетаются сюжеты из механики (вариационные принципы), линейной алгебры (спектральные свойства произведений симметрических операторов) и геометрии (фокальные точки, каустики,$\dots$). Обсуждаются многомерные варианты формулы Хилла, связывающей динамические и геометрические свойства периодической траектории. Условия устойчивости выражены через геометрические свойства границы биллиарда. В частности, оказывается, невырожденная двузвенная траектория максимальной длины всегда неустойчива. Даны оценки степени неустойчивости (количества мультипликаторов вне единичного круга). Они выражены через геометрию каустики и индексы Морса функции длины этой траектории.