Об интерпретации Фон-Дер-Флаасса экстремальных примеров для $(3,4)$-проблемы Турана

Фон-Дер-Флаасс (1988) предложил общую конструкцию, позволяющую превратить произвольный ориентированный граф $\Gamma$ без индуцированных циклов $\vec C_4$ в $(3,4)$-граф Турана. Им было замечено, что все примеры Турана–Брауна–Косточки можно получить с помощью его конструкции, а также была доказана нижняя оценка $\frac37(1-o(1))$ на реберную плотность любого $(3,4)$-графа Турана, получаемого таким образом. В настоящей работе мы доказываем оптимальную нижнюю оценку $\frac49(1-o(1))$ на реберную плотность любого $(3,4)$-графа Турана, строящегося с помощью конструкции Фон-Дер-Флаасса, при выполнении любого из следующих двух ограничений на неориентированный остов $G$ ориентированного графа $\Gamma $: (i) $G$ является полным многодольным графом; (ii) $G$ имеет плотность ребер не ниже $\frac23-\epsilon$, где $\epsilon>0$ – некоторая абсолютная константа. Без дополнительных ограничений на $\Gamma$ мы в состоянии усилить оценку Фон-Дер-Флаасса до значения $\frac7{16}(1-o(1))$.