Следы дискретного преобразования Гильберта с квадратичной фазой

Для функции двух вещественных переменных $H\colon\mathbb R^2\mapsto\mathbb C$, $H:=\text{(p.v.)}\sum_{n\in\mathbb Z\setminus\{0\}}\!\frac{\exp\{\pi i(tn^2+2xn)\}}{2\pi in}$, $(t,x)\in\mathbb R^2$, изучаются модули непрерывности и вариации следов $H|_t$, $H|_x$ на прямых, параллельных осям координат $x=0$, $t=0$. Гладкость следа в первую очередь зависит от диофантовых приближений фиксированного параметра. Исследуются также обобщенные (слабые) вариации следов; в частности, установлено, что $\sup_x\mathrm w_4[H|_x]<\infty$, где $\mathrm w_4$ обозначает слабую четвертую вариацию функции на периоде. Ранее было известно, что равномерно по параметру $t\in\mathbb R$ след $H|_t$ – функция ограниченной слабой квадратической вариации по переменной $x$, т.е. $\sup_t\mathrm w_2[H|_t]<\infty$. Функция $H$ имеет многочисленные приложения: в исследованиях спектров равномерной сходимости (проблема П. Л. Ульянова), неполных квадратичных сумм Гаусса (как производящая функция), в уравнениях математической физики (в задаче Коши для уравнения Шрёдингера), в квантовой оптике (эффект Тальбо).