$p$-адические всплески и их приложения

Излагается теория $p$-адических всплесков. Обсуждаются одномерные и многомерные базисы всплесков и их связь со спектральной теорией псевдодифференциальных операторов. Впервые базисы из собственных векторов с компактным носителем для $p$-адических псевдодифференциальных операторов были рассмотрены В. С. Владимировым. В отличие от вещественных всплесков $p$-адические всплески связаны с теорией представлений групп, а именно фреймы $p$-адических всплесков являются орбитами $p$-адических групп преобразований (системами когерентных состояний). Рассматривается $p$-адический кратномасштабный анализ. Показывается, что $p$-адический кратномасштабный анализ является частным случаем конструкции фрейма $p$-адических всплесков как орбиты действия аффинной группы.