Вложенные изгибаемые сферические кросс-политопы с непостоянными объемами

Построены примеры вложенных изгибаемых кросс-политопов в сферах всех размерностей. Эти примеры представляют интерес с двух точек зрения. Во-первых, в размерностях $4$ и выше это первые примеры вложенных изгибаемых многогранников. Следует отметить, что, в отличие от сфер, в евклидовых пространствах и пространствах Лобачевского размерностей $4$ и выше до сих пор не известно ни одного примера вложенного изгибаемого многогранника. Во-вторых, показано, что объемы построенных изгибаемых кросс-политопов непостоянны в процессе изгибания. Таким образом, эти кросс-политопы дают контрпримеры к гипотезе о кузнечных мехах для сферических многогранников. Ранее контрпример к этой гипотезе был построен только в размерности $3$ (В. А. Александров, 1997), и он не был вложенным. Для изгибаемых многогранников в сферах предложено ослабление гипотезы о кузнечных мехах, которое названо модифицированной гипотезой о кузнечных мехах. Показано, что эта гипотеза выполняется для всех изгибаемых кросс-политопов простейшего типа, среди которых находятся наши контрпримеры к обычной гипотезе о кузнечных мехах. Попутно получен ряд геометрических результатов об изгибаемых кросс-политопах простейшего типа, в частности, выписаны соотношения на объемы их граней коразмерностей $1$ и $2$.