Циклопермутоэдр

Известно, что $k$-мерные грани пермутоэдра $\Pi _n$ можно занумеровать (всеми возможными) линейно упорядоченными разбиениями множества $[n]=\{1,\dots,n\}$ на $n-k$ непустых подмножеств. При этом инцидентность граней соответствует измельчению: грань $F$ содержит грань $F'$ тогда и только тогда, когда метка грани $F'$ есть измельчение метки грани $F$. В статье рассмотрен клеточный комплекс $\mathrm{CP}_{n+1}$, устроенный аналогично, но с заменой линейного порядка на циклический. А именно, $k$-клетки комплекса $\mathrm{CP}_{n+1}$ занумерованы (всеми возможными) циклически упорядоченными разбиениями множества $[n+1]=\{1,\dots,n+1\}$ на $n+1-k>2$ непустых частей. Инцидентность клеток также соответствует измельчению: в комплексе $\mathrm{CP}_{n+1}$ клетка $F$ содержит клетку $F'$ тогда и только тогда, когда метка клетки $F'$ есть измельчение метки клетки $F$. Клеточный комплекс $\mathrm{CP}_{n+1}$ не может быть представлен выпуклым многогранником, так как он не является комбинаторной сферой (даже не является комбинаторным многообразием). Однако он может быть представлен некоторым виртуальным многогранником (разностью Минковского двух выпуклых многогранников), который мы называем циклопермутоэдром $\mathcal{CP}_{n+1}$. Последний задан явно как взвешенная сумма Минковского некоторого набора отрезков. Неформально говоря, на циклопермутоэдр можно смотреть как на “пермутоэдр с диагоналями”. Одна из мотиваций введения такого объекта заключается в том, что циклопермутоэдр является “универсальным” многогранником для конфигурационных пространств шарнирных многоугольников.