Об одной задаче сопряжения в динамике бильярда

Изучаются симметричные бильярды, для которых бильярдное отображение локально (около эллиптической периодической орбиты периода 2) сопряжено жесткому повороту. В предыдущей статье автора (Physica D. 2013. V. 255. P. 31–34) было получено уравнение (далее – уравнение сопряжения) для соответствующих бильярдных областей и доказано, что если угол поворота $\alpha$ рационально несоизмерим с $\pi$, то уравнение сопряжения имеет решение в категории формальных рядов. На основании численного исследования в той же работе также указано, что, по-видимому, для “хороших” углов поворота эти ряды имеют положительные радиусы сходимости. В настоящей статье проводится дальнейшее исследование (как аналитическое, так и численное) уравнения сопряжения. Обсуждаются симметрии, зависимость радиуса сходимости от $\alpha$ и другие аспекты.