Об элементарных теориях систем ординальных обозначений на основе схем рефлексии

Рассматриваются конструктивная система ординальных обозначений до ординала $\varepsilon_0$, введенная Л. Д. Беклемишевым, а также ее фрагменты, составляющие системы обозначений для меньших ординалов $\omega _n$ (башни из $\omega $-экспонент высоты $n$). Эти системы основаны на известной полимодальной логике доказуемости Джапаридзе. Они тесно связаны с техникой ординального анализа арифметики Пеано $\mathbf{PA}$ и ее фрагментов на основе итерированных схем рефлексии. Системы ординальных обозначений могут рассматриваться как модели языка первого порядка. Доказано, что полная система обозначений и ее фрагменты для ординалов $\ge\omega_4$ обладают неразрешимыми элементарными теориями. В тоже время фрагменты, соответствующие ординалам $\le\omega_3$, обладают разрешимыми элементарными теориями. Также получены результаты о разрешимости элементарных теорий для этих систем ординальных обозначений с обедненными сигнатурами.