Проблема В. А. Стеклова об оценке роста ортогональных многочленов

Известная проблема В. А. Стеклова тесно связана со следующей экстремальной задачей. Для фиксированного $n\in\mathbb N$ ищется $M_{n,\delta}=\sup_{\sigma\in S_\delta}\mathopen\|\phi_n\|_{L^\infty(\mathbb T)}$, где $\phi_n(z)$ – ортонормированный многочлен по мере $\sigma\in S_\delta$, а $S_\delta$ – класс Стеклова вероятностных мер $\sigma$ на единичной окружности таких, что $\sigma'(\theta)\geq\delta/(2\pi)>0$ в каждой лебеговой точке $\sigma$. Имеется элементарная оценка $M_n\lesssim\sqrt n$. E. А. Рахманов в 1981 г. доказал, что $M_n\gtrsim\sqrt n/(\ln n)^{3/2}$. Наш основной результат состоит в том, что $M_n\gtrsim\sqrt n$, т.е. элементарная оценка точна. В работе дается обзор результатов по решению этой экстремальной задачи и по общей проблеме Стеклова в теории ортогональных многочленов. Также в работе исследуется асимптотика некоторых тригонометрических многочленов, определяемых свертками Фейера. Эти многочлены могут использоваться при построении асимптотических решений рассматриваемой экстремальной задачи.