О суммах множеств, имеющих малое произведение

Усилен результат Шоймоши о суммах и произведениях в $\mathbb R$, а именно доказано, что справедливо неравенство $\max\{|A+A|,|AA|\}\gg|A|^{4/3+c}$, где $c>0$ – некоторая абсолютная константа. Найдены новые нижние оценки сумм множеств с малым произведением. Предшествующие результаты в этом направлении эффективно улучшены для множеств $A\subset\mathbb R$ с $|AA|\le|A|^{4/3}$.