К теореме Блихфельдта–Мюллендера–Спона о совместных приближениях

Предлагается новый подход к усилению результата Спона, основанный на анализе наилучших приближений. Пусть $\alpha _1,\dots,\alpha _m$ — вещественные числа, а $p$ — натуральное число. Через $c_m$ обозначим точную верхнюю грань по всем константам $\sigma$, для которых неравенство $\max_{j=1,\dots,m}\|p\alpha _j\| < (\sigma p)^{-1/m}$ имеет бесконечно много решений в натуральных $p$, где $\|\cdot\|$ — расстояние до ближайшего целого. В работе исследуются оценки снизу величины $c_m$, имеющие место при всех $m$.