Распределение нулей дзета-функции Римана и колебания остаточного члена в асимптотическом законе распределения простых чисел

Классический результат Ингама, доказанный 84 года назад, утверждает, что из границы нулей дзета-функции Римана довольно общего вида вытекает верхняя оценка модуля остаточного члена в асимптотическом законе распределения простых чисел. В 1950 г. Туран доказал частичное обращение данной теоремы. Позднее автором были доказаны более точные формы теорем Ингама и Турана. В настоящей работе представлена очень общая теорема, описывающая среднее значение и максимальный порядок остаточного члена в терминах относительно простой функции, зависящей от распределения нулей дзета-функции. Доказано, что максимальное слагаемое в явной формуле остаточного члена с высокой точностью совпадает со средним значением и максимальным порядком остаточного члена.