Эта публикация цитируется в
22 статьях
Совместный спектр и бесконечная диэдральная группа
Р. И. Григорчукab,
Р. Янгc a Department of Mathematics, Texas A&M University, College Station, TX 77843-3368, USA
b Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
c Department of Mathematics and Statistics, University at Albany, State University of New York, Albany, NY 12222, USA
Аннотация:
Совместным проективным спектром $P(A)$ набора
$A=(A_1,A_2,\dots ,A_n)$ элементов унитальной банаховой алгебры
$\mathcal B$ называется множество тех
$z\in\mathbb C^n$, для которых многопараметрический пучок
$A(z)=z_1A_1+z_2A_2+\dots+z_nA_n$ необратим. Если
$\mathcal B$ – групповая
$C^*$-алгебра дискретной группы
$G$, порожденной образующими
$A_1,A_2,\dots,A_n$, относительно представления
$\rho$, то
$P(A)$ является инвариантом (слабой) эквивалентности представления
$\rho$. В работе вычисляется совместный спектр для набора образующих
$R=(1,a,t)$ бесконечной диэдральной группы
$D_\infty=\langle a,t\mid a^2=t^2=1\rangle$ относительно левого регулярного представления
$\lambda_{D_\infty}$ и детально исследуются его свойства. Также получена формула для детерминанта Фуглиде–Кадисона пучка
$R(z)=z_0+z_1a+z_2t$, которая использована для вычисления первой группы сингулярных гомологий совместного резольвентного множества
$P^\mathrm c(R)$. Изучение совместного спектра дает новое понимание некоторых предыдущих исследований групп промежуточного роста, с помощью которых можно вычислить соответствующий совместный спектр набора
$(1,a,t)$ относительно представления Купмана
$\rho$ (строящегося по самоподобному действию группы
$D_\infty$ на бинарном дереве). Оказывается, что совместные спектры относительно этих двух представлений совпадают. Интересно, что отсюда можно получить самоподобную реализацию групповой
$C^*$-алгебры
$C^*(D_\infty)$. Это самоподобие алгебры
$C^*(D_\infty)$ проявляется в некоторых динамических свойствах совместного спектра.
Ключевые слова:
совместный проективный спектр, диэдральная группа, $C^*$-алгебра, слабое включение, форма Маурера–Картана, детерминант Фуглиде–Кадисона, группа промежуточного роста, самоподобное представление, носитель представления, динамика.
УДК:
517.986+
517.984+
512.547
MSC: Primary 47A13;
Secondary 20E08,
20Cxx Поступило в редакцию: 1 сентября 2016 г.
DOI:
10.1134/S0371968517020091