RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Труды Математического института имени В. А. Стеклова // Архив

Труды МИАН, 2017, том 297, страницы 165–200 (Mi tm3797)

Эта публикация цитируется в 22 статьях

Совместный спектр и бесконечная диэдральная группа

Р. И. Григорчукab, Р. Янгc

a Department of Mathematics, Texas A&M University, College Station, TX 77843-3368, USA
b Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
c Department of Mathematics and Statistics, University at Albany, State University of New York, Albany, NY 12222, USA

Аннотация: Совместным проективным спектром $P(A)$ набора $A=(A_1,A_2,\dots ,A_n)$ элементов унитальной банаховой алгебры $\mathcal B$ называется множество тех $z\in\mathbb C^n$, для которых многопараметрический пучок $A(z)=z_1A_1+z_2A_2+\dots+z_nA_n$ необратим. Если $\mathcal B$ – групповая $C^*$-алгебра дискретной группы $G$, порожденной образующими $A_1,A_2,\dots,A_n$, относительно представления $\rho$, то $P(A)$ является инвариантом (слабой) эквивалентности представления $\rho$. В работе вычисляется совместный спектр для набора образующих $R=(1,a,t)$ бесконечной диэдральной группы $D_\infty=\langle a,t\mid a^2=t^2=1\rangle$ относительно левого регулярного представления $\lambda_{D_\infty}$ и детально исследуются его свойства. Также получена формула для детерминанта Фуглиде–Кадисона пучка $R(z)=z_0+z_1a+z_2t$, которая использована для вычисления первой группы сингулярных гомологий совместного резольвентного множества $P^\mathrm c(R)$. Изучение совместного спектра дает новое понимание некоторых предыдущих исследований групп промежуточного роста, с помощью которых можно вычислить соответствующий совместный спектр набора $(1,a,t)$ относительно представления Купмана $\rho$ (строящегося по самоподобному действию группы $D_\infty$ на бинарном дереве). Оказывается, что совместные спектры относительно этих двух представлений совпадают. Интересно, что отсюда можно получить самоподобную реализацию групповой $C^*$-алгебры $C^*(D_\infty)$. Это самоподобие алгебры $C^*(D_\infty)$ проявляется в некоторых динамических свойствах совместного спектра.

Ключевые слова: совместный проективный спектр, диэдральная группа, $C^*$-алгебра, слабое включение, форма Маурера–Картана, детерминант Фуглиде–Кадисона, группа промежуточного роста, самоподобное представление, носитель представления, динамика.

УДК: 517.986+517.984+512.547

MSC: Primary 47A13; Secondary 20E08, 20Cxx

Поступило в редакцию: 1 сентября 2016 г.

DOI: 10.1134/S0371968517020091


 Англоязычная версия: Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2017, 297, 145–178

Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024