Об одном диофантовом неравенстве с обратными величинами

Уточняется нижняя оценка числа решений неравенства вида $\alpha \le \{(a\overline {n}+bn)/q\}<\beta $, $1\le n\le N$, где $q$ — достаточно большое простое число, $a$, $b$ — целые, $(ab,q)=1$, $n\overline {n}\equiv 1 \pmod q$, $0\le \alpha <\beta \le 1$. Длина $N$ промежутка изменения переменной $n$ имеет порядок $q^\varepsilon $, где $\varepsilon >0$ — сколь угодно малое фиксированное число.