Дискретная выпуклость и эрмитовы матрицы

Обсуждается вопрос (задача Хорна) о спектре суммы двух вещественных симметрических (или комплексных эрмитовых) матриц, если известны спектры этих матриц. Решение этой задачи было получено А. Клячко. Мы предлагаем здесь несколько иную формулировку ответа на задачу Хорна и значительно более элементарное доказательство. Наш ответ состоит в том, что существование нужной тройки матриц $(A,B,C)$ для заданных спектров $(\alpha,\beta,\gamma)$ эквивалентно существованию так называемой дискретно вогнутой функции на треугольном гриде $\Delta(n)$ с граничными приращениями $\alpha,\beta,\gamma$. Кроме этого, предлагается гипотетическое объяснение связи эрмитовых матриц с дискретно вогнутыми функциями. А именно по паре $(A,B)$ эрмитовых матриц мы строим некоторую функцию $\phi(A,B;\cdot)$ на гриде $\Delta(n)$. Наша гипотеза состоит в том, что эта функция дискретно вогнута, что подтверждается в нескольких частных случаях.