Эта публикация цитируется в
13 статьях
О классическом соответствии между поверхностями K3
К. Г. Мадоннаa,
В. В. Никулинbc a Università degli Studi di Roma — Tor Vergata
b Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
c University of Liverpool
Аннотация:
Пусть
$X$ — поверхность K3, являющаяся пересечением трех (т.е. связки
$\mathbb P^2$) квадрик в
$\mathbb P^5$. Кривая вырожденных квадрик имеет
степень 6 и определяет естественное двулистное накрытие
$Y$ плоскости
$\mathbb P^2$, разветвленное в данной кривой, которое опять является
поверхностью К3. Это дает классический пример соответствия между
поверхностями K3, связанного с модулями пучков на поверхностях K3,
исследованными Мукаи. Когда общие (для фиксированных решеток Пикара)
поверхности
$X$ и
$Y$ изоморфны? Даются необходимые и достаточные условия
этого в терминах решеток Пикара
$X$ и
$Y$. Например, для числа Пикара 2
решетка Пикара
$X$ и
$Y$ определяется ее детерминантом
$-d$, где
$d>0$,
$d\equiv 1\mod 8$ и одно из уравнений
$a^2-db^2=8$ или
$a^2-db^2=-8$ имеет
целочисленное решение
$(a,b)$. Ясно, что множество таких
$d$ бесконечно:
$d\in \{(a^2\mp 8)/b^2\}$, где
$a$ и
$b$ нечетны. Это дает все возможные
дивизориальные условия на 19-мерное пространство модулей пересечений трех
квадрик
$X$ в
$\mathbb P^5$, влекущих
$Y\cong X$. Одно из них, когда
$X$
имеет прямую, является классическим и соответствует
$d=17$. Подобные
рассуждения могут быть применены к реализации изоморфизма $(T(X)\otimes
\mathbb Q, H^{2,0}(X)) \cong (T(Y)\otimes \mathbb Q, H^{2,0}(Y))$ трансцендентных
периодов над
$\mathbb Q$ двух К3-поверхностей
$X$ и
$Y$ фиксированной
последовательностью векторов Мукаи.
УДК:
512.7 Поступило в ноябре 2002 г.