Инвариант Дена и равносоставленность изгибаемых многогранников

В работе доказано, что инвариант Дена любого изгибаемого многогранника в $n$-мерном евклидовом пространстве, где $n\ge 3$, постоянен в процессе изгибания. При $n=3$ и $n=4$ отсюда следует, что всякий изгибаемый многогранник остается равносоставленным с самим собой в процессе изгибания, что доказывает сильную гипотезу о кузнечных мехах, выдвинутую Р. Коннелли в 1979 г. Считалось, что в 2009 г. к этой гипотезе был построен контрпример В.А. Александровым и Р. Коннелли. Однако в настоящей работе показано, что их результат содержит неустранимую ошибку. Далее, для изгибаемых многогранников в $n$-мерной сфере или $n$-мерном пространстве Лобачевского, где $n\ge 3$, доказано, что их инвариант Дена постоянен в процессе изгибания, если для многогранника верна обычная гипотеза о кузнечных мехах, т.е. если его обобщенный ориентированный объем остается постоянным при всех возможных изгибаниях. С помощью предыдущих результатов первого автора установлено, что инвариант Дена сохраняется при изгибании всякого ограниченного изгибаемого многогранника в нечетномерном пространстве Лобачевского, а также всякого изгибаемого многогранника с достаточно маленькими длинами ребер в любом пространстве постоянной кривизны размерности не менее $3$.