Экстремальные свойства произведений множеств

Найден почти оптимальный размер множества $A\subset [N] := \{1,\dots ,N\}$ такого, что произведение множеств $AA$ удовлетворяет условию (i) $|AA| \sim |A|^2/2$ или условию (ii) $|AA| \sim |[N][N]|$. Полученный результат дает ответы на вопросы, поставленные в недавней работе Х. Силлеруело, Д.С. Раманы и О. Рамаре.