Слабо монотонные множества и непрерывная выборка из оператора почти наилучшего приближения

Вводится новое понятие слабой монотонности множеств, и показывается, что аппроксимативно компактное и слабо монотонно связное (слабо связное по Менгеру) множество в банаховом пространстве обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon $-выборкой для любого $\varepsilon>0$. Затем вводится понятие слабо монотонно связных (слабо связных по Менгеру) множеств относительно множества $d$-определяющих функционалов. Для таких множеств строятся непрерывные $(d^{-1},\varepsilon)$-выборки на произвольных компактах.