Эта публикация цитируется в
5 статьях
Многочлен объема регулярных полупростых многообразий Хессенберга и многогранник Гельфанда–Цетлина
М. Харадаa,
Т. Хоригутиb,
М. Масудаc,
Сонджон Пакd a Department of Mathematics and Statistics, McMaster University, Hamilton, Ontario, Canada
b Department of Pure and Applied Mathematics, Graduate School of Information Science and Technology, Osaka University, Suita, Osaka, Japan
c Department of Mathematics, Osaka City University, Sumiyoshi-ku, Osaka, Japan
d Department of Mathematical Sciences, Korea Advanced Institute of Science and Technology (KAIST), Daejeon, Republic of Korea
Аннотация:
Регулярные полупростые многообразия Хессенберга — это алгебраические подмногообразия в многообразии флагов
$\mathrm {Flag}(\mathbb C^n)$, естественно возникающие на пересечении геометрии, теории представлений и комбинаторики. Недавние результаты Абэ–Хоригути–Масуды–Мураи–Сато и Абэ–ДеДьё–Галетто–Харады позволили связать многочлены объема регулярных полупростых многообразий Хессенберга с многочленом объема многогранника Гельфанда–Цетлина
$\mathrm {GZ}(\lambda )$ при $\lambda =(\lambda _1,\lambda _2,\dots ,\lambda _n)$. Основные результаты работы состоят в выводе явной формулы для многочленов объема регулярных полупростых многообразий Хессенберга в терминах объемов определенных граней многогранника Гельфанда–Цетлина, а также в получении формулы для многочлена объема в переменных
$\alpha _i := \lambda _i-\lambda _{i+1}$, коэффициенты которой имеют комбинаторный смысл и, как следствие, неотрицательны. При этом используется и обобщается техника работ Андерсона–Тимочко, Кириченко–Смирнова–Тиморина и Постникова. В качестве приложения полученных результатов подробно исследован частный случай — пермутоэдрическое многообразие, известное также как торическое многообразие, соответствующее набору камер Вейля. Для него построено явное разбиение пермутоэдра (образа отображения моментов для пермутоэдрического многообразия) на комбинаторные
$(n-1)$-кубы и получена алгебро-геометрическая интерпретация этого разбиения, состоящая в выражении класса когомологий пермутоэдрического многообразия в многообразии
$\mathrm {Flag}(\mathbb C^n)$ в виде суммы классов когомологий определенного набора многообразий Ричардсона.
Ключевые слова:
многообразие Хессенберга, многообразие флагов, многообразие Шуберта, многообразие Ричардсона, пермутоэдрическое многообразие, многочлены объема, многогранник Гельфанда–Цетлина, таблица Юнга.
УДК:
512.734 Поступило в редакцию: 25 декабря 2018 г.После доработки: 10 января 2019 г.Принята к печати: 28 марта 2019 г.
DOI:
10.4213/tm4014