RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Труды Математического института имени В. А. Стеклова // Архив

Труды МИАН, 2019, том 305, страницы 344–373 (Mi tm4014)

Эта публикация цитируется в 5 статьях

Многочлен объема регулярных полупростых многообразий Хессенберга и многогранник Гельфанда–Цетлина

М. Харадаa, Т. Хоригутиb, М. Масудаc, Сонджон Пакd

a Department of Mathematics and Statistics, McMaster University, Hamilton, Ontario, Canada
b Department of Pure and Applied Mathematics, Graduate School of Information Science and Technology, Osaka University, Suita, Osaka, Japan
c Department of Mathematics, Osaka City University, Sumiyoshi-ku, Osaka, Japan
d Department of Mathematical Sciences, Korea Advanced Institute of Science and Technology (KAIST), Daejeon, Republic of Korea

Аннотация: Регулярные полупростые многообразия Хессенберга — это алгебраические подмногообразия в многообразии флагов $\mathrm {Flag}(\mathbb C^n)$, естественно возникающие на пересечении геометрии, теории представлений и комбинаторики. Недавние результаты Абэ–Хоригути–Масуды–Мураи–Сато и Абэ–ДеДьё–Галетто–Харады позволили связать многочлены объема регулярных полупростых многообразий Хессенберга с многочленом объема многогранника Гельфанда–Цетлина $\mathrm {GZ}(\lambda )$ при $\lambda =(\lambda _1,\lambda _2,\dots ,\lambda _n)$. Основные результаты работы состоят в выводе явной формулы для многочленов объема регулярных полупростых многообразий Хессенберга в терминах объемов определенных граней многогранника Гельфанда–Цетлина, а также в получении формулы для многочлена объема в переменных $\alpha _i := \lambda _i-\lambda _{i+1}$, коэффициенты которой имеют комбинаторный смысл и, как следствие, неотрицательны. При этом используется и обобщается техника работ Андерсона–Тимочко, Кириченко–Смирнова–Тиморина и Постникова. В качестве приложения полученных результатов подробно исследован частный случай — пермутоэдрическое многообразие, известное также как торическое многообразие, соответствующее набору камер Вейля. Для него построено явное разбиение пермутоэдра (образа отображения моментов для пермутоэдрического многообразия) на комбинаторные $(n-1)$-кубы и получена алгебро-геометрическая интерпретация этого разбиения, состоящая в выражении класса когомологий пермутоэдрического многообразия в многообразии $\mathrm {Flag}(\mathbb C^n)$ в виде суммы классов когомологий определенного набора многообразий Ричардсона.

Ключевые слова: многообразие Хессенберга, многообразие флагов, многообразие Шуберта, многообразие Ричардсона, пермутоэдрическое многообразие, многочлены объема, многогранник Гельфанда–Цетлина, таблица Юнга.

УДК: 512.734

Поступило в редакцию: 25 декабря 2018 г.
После доработки: 10 января 2019 г.
Принята к печати: 28 марта 2019 г.

DOI: 10.4213/tm4014


 Англоязычная версия: Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2019, 305, 318–344

Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024