Двойственность уравнение–область в задаче Дирихле для общих дифференциальных уравнений в пространстве $L_2$

Дано изложение развития одного наблюдения автора, приведшего к созданию метода двойственности уравнение–область, применяемого при исследовании задачи Дирихле для уравнения в частных производных общего вида в полуалгебраической области. Изложение ведется с привлечением результатов из общей теории граничных задач и направлено на распространение этих результатов на обобщенные постановки таких задач в $L_2(\Omega )$. Используются результаты о граничных свойствах $L_2$-решения общего линейного уравнения в частных производных в области. Показано, как обсуждаемая общая конструкция применяется при исследовании задачи Дирихле для конкретных уравнений с постоянными коэффициентами на основе метода двойственности уравнение–область. На обобщенную постановку задачи Дирихле распространяются полученные ранее необходимые и достаточные условия существования нетривиального гладкого решения однородной задачи Дирихле для общего уравнения второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами и однородным символом в круге, а также для ультрагиперболического уравнения в $n$-мерном шаре.