О задаче описания голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей четырехмерных комплексных пространств

Обсуждаются два фрагмента объемной задачи, являющейся продолжением по размерности недавно завершенных аналогичных исследований автора в пространстве $\mathbb C^3$. Один из фрагментов связан с локальным описанием несферических голоморфно однородных строго псевдовыпуклых гиперповерхностей в $\mathbb C^4$ с субмаксимальными по размерности стабилизаторами. С использованием техники нормальных форм Мозера и свойств подгрупп унитарной группы $\mathrm U(3)$ показано, что с точностью до голоморфной эквивалентности существуют всего две такие поверхности. Обе они являются естественными обобщениями известных однородных гиперповерхностей из пространства $\mathbb C^3$. Во второй части работы рассматривается техника голоморфной реализации в $\mathbb C^4$ абстрактных алгебр Ли размерности $7$, соответствующих, в частности, однородным гиперповерхностям, стабилизатор которых тривиален. Получены некоторые достаточные условия на обсуждаемые алгебры Ли, при которых орбиты всех реализаций таких алгебр являются вырожденными по Леви. Схемы изучения голоморфно однородных гиперповерхностей, позволившие получить их описания в двумерном (Э. Картан) и трехмерном (Дубров, Медведев, Ти; Фелс, Кауп; Белошапка, Коссовский; Лобода) случаях, оказываются вполне продуктивными при повышении размерности объемлющего пространства.