Колмогоровские поперечники классов Бесова $B^1_{1,\theta }$ и произведений октаэдров

Найдены порядки колмогоровских поперечников классов Бесова, близких к классу $W^1_1$ (для которого порядок поперечников неизвестен): $d_n(B^1_{1,\theta }[0,1],L_q[0,1])\asymp n^{-1/2}\log ^{\max \{1/2,1-1/\theta \}}n$ при $2<q<\infty $, $1\le \theta \le \infty $. Доказательство использует оценку снизу для поперечника декартова произведения октаэдров в специальной норме (максимум двух весовых $\ell _{q_i}$-норм). Эта оценка обобщает теорему Б.С. Кашина о поперечнике октаэдра в $\ell _q$.