Суммы Клоостермана с простыми числами и разрешимость одного сравнения с обратными вычетами

Исследуется задача о разрешимости сравнения $g(p_1)+\dots +g(p_k)\equiv m\pmod {q}$ в простых числах $p_1,\dots ,p_k\leq N$, $N\leq q^{1-\gamma }$, $\gamma >0$. Здесь $g(x)\equiv a\overline {x}+bx\pmod {q}$, $\overline {x}$ — обратный к $x$ вычет, т.е. $\overline {x}x\equiv 1\pmod {q}$, $q\geq 3$, $a$, $b$, $m$ и $k\geq 3$ — произвольные целые числа, причем $(ab,q)=1$. Изучение этого сравнения опирается на новые оценки сумм Клоостермана с простыми числами. Основным результатом работы является асимптотическая формула для количества решений в случае, когда модуль $q$ не делится ни на $2$, ни на $3$.