О задаче Моцкина для группы $\mathbb R/\mathbb Z$
П. Канделаa,
К. Каталаb,
Х. Руэc,
О. Серраc a Universidad Autónoma de Madrid and ICMAT, Ciudad Universitaria de Cantoblanco, Madrid, Spain
b Universidad Autónoma de Madrid, Ciudad Universitaria de Cantoblanco, Madrid, Spain
c Department of Mathematics, Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona, Spain
Аннотация:
Рассматривается следующая задача. Пусть
$D$ — заданное подмножество интервала
$(0,1)$. Насколько велика может быть мера Лебега борелевского множества
$A\subset [0,1)$, не содержащего пар элементов, разность которых по модулю
$1$ принадлежит
$D$? Это аналог для группы
$\mathbb R/\mathbb Z$ известной задачи Моцкина, изначально поставленной для множеств целых чисел. На основе методов эргодической теории, теории графов и геометрии чисел в работе получены первые результаты для этого
$\mathbb R/\mathbb Z$-варианта задачи в случае, когда множество
$D$ запрещенных разностей конечно. В частности, найдено точное решение в случае, когда
$D$ имеет два элемента, хотя бы один из которых иррационален. Если все элементы множества
$D$ рациональны, задача эквивалентна нахождению оценки для коэффициента независимости циркулянтного графа. Для случая двух рациональных элементов получена асимптотически точная оценка этого коэффициента в терминах нечетного обхвата графа, из которой также следует классическое решение Кантора и Гордона исходной задачи Моцкина для двух запрещенных разностей.
УДК:
511.48
Поступило в редакцию: 31 июля 2020 г.После доработки: 5 марта 2021 г.Принята к печати: 23 июня 2021 г.
DOI:
10.4213/tm4205