Разрешение особенностей пространств орбит $G_{n,2}/T^n$

Изучается пространство орбит $X_n = G_{n,2}/T^n$ стандартного действия компактного тора $T^n$ на комплексном многообразии Грассмана $G_{n,2}$. Описана структура множества критических точек $\operatorname {Crit}G_{n,2}$ обобщенного отображения моментов $\mu _n: G_{n,2}\to \mathbb {R}^n$, образом которого является гиперсимплекс $\Delta _{n,2}$. Каноническая проекция $G_{n,2}\to X_n$ переводит множество $\operatorname {Crit} G_{n,2}$ в множество $\operatorname {Crit}X_n$, состоящее по определению из орбит $x\in X_n$ с нетривиальной стационарной подгруппой в $T^{n-1}=T^n/S^1$, где $S^1\subset T^n$ — диагональный одномерный тор. В терминах пространств параметров орбит введено понятие особой точки $x\in \operatorname {Sing}X_n \subset X_n$. Доказано, что множество $Y_n = X_n\setminus \operatorname {Sing}X_n$ является открытым многообразием, всюду плотным в $X_n$. Показано, что $\operatorname {Crit}X_n \subset \operatorname {Sing}X_n$ для $n>4$, но $\operatorname {Sing}X_4\subset \operatorname {Crit}X_4$. Центральным результатом является построение проекции $p_n: U_n= \mathcal {F}_n\times \Delta _{n,2}\to X_n$, $\dim U_n = \dim X_n$, где $\mathcal {F}_n$ — универсальное пространство параметров. Ранее авторами было доказано, что $\mathcal {F}_n$ — замкнутое гладкое многообразие, диффеоморфное известному многообразию $\,\overline {\!\mathcal {M}}(0,n)$. Показано, что отображение $p_n: Z_n = p_n^{-1}(Y_n)\to Y_n$ является диффеоморфизмом, и описана структура множеств $p_n^{-1}(x)$ для $x\in \operatorname {Sing}X_n$.