Римановы поверхности, близкие к вырожденным, в теории аномальных волн

В настоящее время создание теории аномальных волн (известных также как волны-убийцы, rogue waves, freak waves) — одно из приоритетных направлений математической физики. На данный момент нет единого мнения о механизме генерации таких волн (и нельзя исключить, что в различных системах основной вклад вносят различные механизмы), однако в качестве основного кандидата рассматривается модуляционная неустойчивость в нелинейных средах. Одно из направлений исследований в теории аномальных волн связано с использованием интегрируемых моделей, включая нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ). Выбор последнего связан с тем, что в классических работах В.И. Беспалова–В.И. Таланова и В.Е. Захарова середины 1960-х годов НУШ было выведено как модель для описания модуляционной неустойчивости в нелинейной оптике и в теории волн на глубокой воде соответственно. Интегрируемость НУШ была установлена В.Е. Захаровым и А.Б. Шабатом в 1972 г. Наиболее мощным методом построения пространственно периодических (квазипериодических) решений солитонных уравнений является метод конечнозонного интегрирования, начало разработке которого положила работа С.П. Новикова 1974 г. Однако, как отмечал Новиков, несмотря на кажущуюся простоту $\Theta $-функциональных формул, их использование обычно требует дополнительной эффективизации. К счастью, как было замечено П.М. Сантини и автором, в задаче о генерации аномальных волн за счет модуляционной неустойчивости мы работаем с данными Коши специального вида, когда в начальный момент имеется малое возмущение неустойчивого фона. В этом случае спектральные кривые в конечнозонном подходе оказываются малыми возмущениями рациональных и можно получить очень простые асимптотические формулы, которые для небольшого числа неустойчивых мод на удивление хорошо согласуются с результатами численного интегрирования. В данной работе приведен обзор полученных в этом направлении результатов.