Топология пространств разориентаций

Пусть $G_1$ и $G_2$ — две конечные подгруппы группы $\mathrm {SO}(3)$. Двусторонние факторы вида $X(G_1,G_2)=G_1\backslash\mathrm{SO}(3)/G_2$ были введены в материаловедении и называются пространствами разориентаций. В настоящей статье рассматриваются известные результаты, позволяющие описать топологию пространств разориентаций. Если пренебречь орбифолдной структурой, то все пространства разориентаций являются замкнутыми ориентируемыми топологическими $3$-многообразиями с конечными фундаментальными группами. В случае, когда $G_1$, $G_2$ — кристаллографические группы, вычислена фундаментальная группа $\pi _1(X(G_1,G_2))$ и применена теорема эллиптизации для описания самих пространств. Многие пространства разориентаций гомеоморфны $S^3$ в соответствии с теоремой Перельмана. Однако в статье явно описаны топологические типы некоторых пространств разориентаций без использования теоремы Перельмана. Классификация пространств разориентаций позволяет ввести новые структуры $n$-значных групп на многообразиях $S^3$ и $\mathbb R\mathrm P^3$. Наконец, исследована связь конкретного пространства разориентаций $X(D_2,D_2)$ с интегрируемыми динамическими системами и торической топологией.