Новые примеры и частичная классификация 15-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости

У. Брем и В. Кюнель (1992) построили три $15$-вершинных $8$-мерных комбинаторных многообразия, «похожих на кватернионную проективную плоскость» с группами симметрий $\mathrm{A}_5$, $\mathrm{A}_4$ и $\mathrm{S}_3$ соответственно. Д. А. Городков (2016) доказал, что эти три многообразия на самом деле кусочно линейно гомеоморфны $\mathbb{HP}^2$. Заметим, что $15$ есть минимальное число вершин $8$-мерного комбинаторного многообразия, которое не кусочно линейно гомеоморфно $S^8$. В настоящей статье построено много новых $15$-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости $\mathbb{HP}^2$. Удивительный факт заключается в том, что удается найти примеры таких триангуляций с очень разными группами симметрий, в том числе никак не связанными с группой $\mathrm{A}_5$. А именно, построено $19$ триангуляций с группой симметрий $\mathrm{C}_7$, одна триангуляция с группой симметрий $\mathrm{C}_6\times\mathrm{C}_2$, $14$ триангуляций с группой симметрий $\mathrm{C}_6$, $26$ триангуляций с группой симметрий $\mathrm{C}_5$, одна новая триангуляция с группой симметрий $\mathrm{A}_4$ и $11$ новых триангуляций с группой симметрий $\mathrm{S}_3$. Более того, получен следующий классификационный результат. Доказано, что с точностью до изоморфизма имеется ровно $75$ триангуляций $\mathbb{HP}^2$ с $15$ вершинами и группой симметрий порядка не менее $4$: три триангуляции Брема–Кюнеля и $72$ новые триангуляции, перечисленные выше. С другой стороны, показано, что имеется много триангуляций с группами симметрий $\mathrm{C}_3$ и $\mathrm{C}_2$, а также с тривиальной группой симметрий.