Новые примеры и частичная классификация 15-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости

У. Брем и В. Кюнель (1992) построили три 15-вершинных восьмимерных комбинаторных многообразия, “похожих на кватернионную проективную плоскость”, с группами симметрий $\mathrm A_5$, $\mathrm A_4$ и $\mathrm S_3$ соответственно. Д.А. Городков (2016) доказал, что эти три многообразия на самом деле кусочно линейно гомеоморфны $\mathbb H\mathrm P^2$. Заметим, что $15$ — это минимальное число вершин восьмимерного комбинаторного многообразия, которое не является кусочно линейно гомеоморфным $S^8$. В настоящей работе построено много новых 15-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости $\mathbb H\mathrm P^2$. Удивительный факт заключается в том, что удается найти примеры таких триангуляций с очень разными группами симметрий, в том числе никак не связанными с группой $\mathrm A_5$. А именно, найдено 19 триангуляций с группой симметрий $\mathrm C_7$, одна триангуляция с группой симметрий $\mathrm C_6\times \mathrm C_2$, 14 триангуляций с группой симметрий $\mathrm C_6$, 26 триангуляций с группой симметрий $\mathrm C_5$, одна новая триангуляция с группой симметрий $\mathrm A_4$ и 11 новых триангуляций с группой симметрий $\mathrm S_3$. Более того, получен следующий классификационный результат. Доказано, что с точностью до изоморфизма имеется ровно 75 триангуляций $\mathbb H\mathrm P^2$ с 15 вершинами и группой симметрий порядка не менее $4$: три триангуляции Брема–Кюнеля и 72 новые триангуляции, перечисленные выше. С другой стороны, показано, что имеется много триангуляций с группами симметрий $\mathrm C_3$ и $\mathrm C_2$, а также с тривиальной группой симметрий.