Целочисленное кольцо когомологий симметрических степеней CW-комплексов и топология симметрических степеней римановых поверхностей

Показано, что целочисленное кольцо когомологий фактор по кручению $H^*(\mathrm{Sym}^n X;\mathbb{Z})/\mathrm{Tor}$ симметрических степеней связных счетных CW-комплексов конечного гомологического типа есть функтор от кольца $H^*(X;\mathbb{Z})/\mathrm{Tor}$ (Теорема 3.1). Более того, дано явное описание этого функтора. Также рассмотрен важный частный случай, когда $X$ есть компактная риманова поверхность $M^2_g$ рода $g$. Знаменитая теорема Макдональда 1962 года дает явное описание целочисленного кольца когомологий $H^*(\mathrm{Sym}^n M^2_g;\mathbb{Z})$. Тщательный анализ оригинального доказательства Макдональда показывает, что оно содержит три пробела. Все эти пробелы были устранены Сероулом в 1972 году, и, следовательно, Сероул получил полное доказательство теоремы Макдональда. Тем не менее, в нестабильном случае $2\le n\le 2g-2$, у утверждения теоремы Макдональда есть подпункт, который требует корректировки даже для рациональных колец когомологий (Теорема 4.1). В работе доказана следующая известная гипотеза. Обозначим через $M^2_{g,k}$ произвольную компактную риманову поверхность рода $g\ge 0$ c $k\ge 1$ проколами. Гипотеза (Благоевич-Груич-Живалевич, 2003). Пусть даны числа $n\ge 2, g,g'\ge 0, k,k'\ge 1$, причем $2g+k=2g'+k'$ и $g\ne g'$. Тогда гомотопически эквивалентные открытые многообразия $\mathrm{Sym}^n M^2_{g,k}$ и $\mathrm{Sym}^n M^2_{g',k'}$ негомеоморфны.