Целочисленное кольцо когомологий симметрических степеней CW-комплексов и топология симметрических степеней римановых поверхностей

Показано, что фактор $H^*(\mathrm {Sym}^n X;\mathbb {Z})/\mathrm {Tor}$ целочисленного кольца когомологий симметрических степеней связных счетных CW-комплексов конечного гомологического типа по кручению есть функтор от кольца $H^*(X;\mathbb {Z})/\mathrm {Tor}$. Дано явное описание этого функтора. Также рассмотрен важный частный случай, когда $X$ — компактная риманова поверхность $M^2_g$ рода $g$. Знаменитая теорема Макдональда 1962 г. дает явное описание целочисленного кольца когомологий $H^*(\mathrm {Sym}^n M^2_g;\mathbb {Z})$. Тщательный анализ оригинального доказательства Макдональда показывает, что оно содержит три пробела. Все эти пробелы были устранены Серулем в 1972 г., и, таким образом, Серуль получил полное доказательство теоремы Макдональда. Тем не менее в нестабильном случае $2\le n\le 2g-2$ у утверждения теоремы Макдональда есть подпункт, который требует корректировки даже для рациональных колец когомологий. В работе доказана следующая известная гипотеза (Благоевич–Груич–Живалевич, 2003). Обозначим через $M^2_{g,k}$ произвольную компактную риманову поверхность рода $g\ge 0$ с $k\ge 1$ проколами. Пусть даны числа $n\ge 2$, $g,g'\ge 0$, $k,k'\ge 1$, причем $2g+k=2g'+k'$ и $g\ne g'$. Тогда гомотопически эквивалентные открытые многообразия $\mathrm {Sym}^n M^2_{g,k}$ и $\mathrm {Sym}^n M^2_{g',k'}$ негомеоморфны.