Классическая и волновая динамика длинных нелинейных волн, локализованных в окрестности пологих берегов

В недавних работах С.Ю. Доброхотова с соавторами (2023, 2024) построены асимптотические решения нелинейной системы уравнений мелкой воды, соответствующие береговым волнам. В настоящей работе приводятся асимптотические формулы для нелинейных береговых волн в более удобных для конкретных ситуаций координатах, исследуются свойства нелинейных волн, в частности соотношения амплитуды и длины волны, при которых не происходит обрушения, и рассматриваются содержательные примеры. Также обсуждается связь построенных решений с траекториями гамильтоновой системы, коэффициенты которой вырождаются на границе рассматриваемой области и в которой можно ввести быстрые и медленные переменные. Такие траектории образуют “вырождающиеся бильярды с полужесткими стенками”, которые в более общем случае были изучены в недавней работе С.В. Болотина и Д.В. Трещева (2024).