О гамильтоновых проективных бильярдах на границах произведений выпуклых тел

Пусть $K\subset\mathbb R^n_q$, $T\subset\mathbb R^n_p$ – два ограниченных строго выпуклых тела (открытые подмножества) с $C^6$-гладкой границей. Рассматривается произведение $\overline K\times\overline T\subset\mathbb R^{2n}_{q,p}$, снабженное стандартной симплектической формой $\omega=\sum_{j=1}^ndq_j\wedge dp_j$. Орбиты $(K,T)$-бильярда – это непрерывные кривые на границе $\partial(K\times T)$, пересечения которых с открытым всюду плотным подмножеством $(K\times\partial T)\cup(\partial K\times T)$ касаются характеристического поля направлений, задаваемого ядрами ограничений симплектической формы $\omega$ на касательные пространства к границе. Для любой точки $(q,p)\in K\times \partial T$ характеристическая прямая в $T_{(q,p)}\mathbb R^{2n}$ порождается вектором $(\vec n(p),0)$, где $\vec n(p)$ – внешний нормальный вектор к $T_p\partial T$. Аналогичное утверждение выполнено для $(q,p)\in\partial K\times T$. Проекция каждой орбиты $(K,T)$-бильярда на $K$ является орбитой так называемого $T$-бильярда в $K$. В случае, когда тело $T$ центрально-симметрично, это – бильярд в пространстве $\mathbb R^n_q$, снабженном структурой финслерова пространства Минковского, "двойственной к $T$". Соответствующий финслеров закон отражения был введен в совместной статье С.Л. Табачникова и Е.А. Гуткина в 2002 г. Исследование орбит $(K,T)$-бильярдов тесно связано с симплектической изопериметрической гипотезой К. Витербо (контрпример к которой был недавно построен в совместной работе П. Хаим-Кислев и Я. Островера) и со знаменитой гипотезой Малера из выпуклой геометрии. В настоящей работе рассматривается специальный случай, когда закон отражения $T$-бильярда является проективным законом отражения, введенным С.Л. Табачниковым, т.е., задается проективными инволюциями проективизированных касательных пространств $T_q\mathbb R^n$, $q\in\partial K$. Показано, что это происходит в том и только в том случае, когда $T$ – эллипсоид, или, что эквивалентно, когда все $T$-бильярды одновременно аффинно эквивалентны евклидовым бильярдам. В качестве приложения приведены аналогичные результаты для финслеровых бильярдов.