Об изотермических координатах $W^{2,2}$-иммерсий: контрпример

Изучаются изотермические координаты для иммерсий двумерных многообразий в евклидово пространство. Рассматривается класс иммерсий с квадратично интегрируемой второй фундаментальной формой, которые также называются $W^{2,2}$-иммерсиями. В литературе распространено утверждение о том, что такого рода иммерсии обладают изотермическими координатами с равномерно ограниченным логарифмом конформного фактора. В настоящей работе показано, что это неверно. Приведен пример иммерсии двумерной сферы в трехмерное евклидово пространство, для которой логарифм конформного фактора неограничен. Причина этого явления состоит в том, что иммерсии с квадратично интегрируемой второй квадратичной формой не допускают гладкой аппроксимации. Другими словами, они не удовлетворяют условиям теоремы Торо о билипшицевых конформных координатах.