RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Труды Математического института имени В. А. Стеклова // Архив

Труды МИАН, 2024, том 327, страницы 140–219 (Mi tm4446)

Эта публикация цитируется в 1 статье

Бифуркации в интегрируемых системах с тремя степенями свободы. I

Е. А. Кудрявцеваab, Л. М. Лерманc

a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия
b Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Москва, Россия
c Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”, Нижний Новгород, Россия

Аннотация: Изучается локальная структура вещественно аналитической интегрируемой гамильтоновой системы с тремя степенями свободы в окрестностях компактных особых орбит. В таких системах одномерные компактные орбиты соответствующего гамильтонова действия встречаются обычно однопараметрическими семействами, а двумерные орбиты — двухпараметрическими семействами. Поэтому вдоль семейств возможны изменения локальной структуры разбиения на орбиты действия. В работе изучаются окрестности компактных одномерных орбит (т.е. полулокальных особенностей ранга $1$ и коранга $2$ отображения энергии-момента). С помощью результатов Зунга и Кудрявцевой о существовании локального гамильтонова действия двумерного тора исследуются бифуркации полулокальной структуры орбит около вырожденных орбит, соответствующих резонансам различного типа. Показано, что эти бифуркации структурно устойчивы относительно аналитических интегрируемых возмущений системы. Во всех случаях построены стандартные полиномиальные гамильтонианы, которые вместе с квадратичными и линейными первыми интегралами дают $C^\omega $-лево-правую классификацию отображений энергии-момента в окрестностях вырожденных компактных орбит. Приведены фазовые портреты и бифуркационные диаграммы некоторых стандартных систем при соответствующих бифуркациях.

Ключевые слова: интегрируемая система, гамильтонова система, орбита, бифуркационная диаграмма, лево-правая эквивалентность, бифуркация.

УДК: 514.7+514.8

Поступило в редакцию: 25 мая 2024 г.
После доработки: 2 сентября 2024 г.
Принята к печати: 3 октября 2024 г.

DOI: 10.4213/tm4446


 Англоязычная версия: Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2024, 327, 130–207


© МИАН, 2025