Квантовые модулярные преобразования, соотношение пятиугольника и геодезические

В классических и квантовых пространствах Тейхмюллера, координаты на которых заданы с помощью техники графов, построены преобразования группы классов отображений, удовлетворяющие “соотношению пятиугольника”. Обсуждаются алгебры квантовых и классических геодезических, порождаемые распутывающими соотношениями для соответствующих геодезических.