Аменабельность и парадоксальные разбиения для псевдогрупп и дискретных метрических пространств

В статье изложены различные вопросы, связанные с аменабельностью и парадоксальными разбиениями для групп, групповых действий и дискретных метрических пространств. Вначале излагается формализм теории псевдогрупп, который хорошо приспособлен к формулировке альтернативы Тарского, согласно которой псевдогруппа без инвариантного среднего обладает парадоксальным разбиением, а также для формулировки условия Фелнера. Используя теорему Холла–Радо о парасочетаниях в графах, мы показываем, что для псевдогрупп существование инвариантного среднего эквивалентно условию Фелнера. В случае псевдогруппы ограниченных возмущений тождественного преобразования дискретного метрического пространства эти условия эквивалентны отрицанию так называемого условия Громова, изопериметрическому условию, спектральному критерию Кестена, связанному с простым случайным блужданием, и многим другим условиям. Мы также определяем число Тарского как минимальное число кусков в парадоксальных разбиениях, ассоциированных с неаменабельным групповым действием (натуральное число $\ge 4$), и приводим оценки для этого числа (разд. 2.4 и 4.2). В заключительной главе мы излагаем понятие супераменабельности метрических пространств, первоначально рассмотренное для групп Розенблаттом.