Стохастическое нелинейное уравнение Шрёдингера. 1. Априорные оценки

Мы будем рассматривать нелинейное уравнение Шрёдингера с малым действительным коэффициентом $\delta$ перед лапласианом. На уравнение действует случайная сила, являющаяся белым шумом по времени и гладкой по пространственной переменной $x$ из единичного куба; на границе куба заданы граничные условия Дирихле. Мы доказываем, что уравнение обладает единственным решением, обращающимся в нуль при $t=0$. Это решение почти наверное гладко по $x$ и $k$-й момент его $m$-й соболевской нормы по $x$ ограничен $C_{m,k}\delta^{-km-k/2}$. Доказательство основывается на лемме, которая может рассматриваться как стохастический принцип максимума.