Отображения борелевских множеств

Вопросы о структуре борелевских множеств ставились в частных случаях Лузиным, Александровым и Урысоном как вопросы выделения в борелевских классах множеств с некоторыми однородными свойствами и выяснения числа таких попарно негомеоморфных множеств. Универсальную однородность, т.е. свойство содержать всюду замкнутую копию любого борелевского множества того же или меньшего класса, рассматривала Л. В. Келдыш. Множества классов $\Pi_\alpha^0$, $\alpha>2$, первой категории на себе с этим свойством однородности она назвала каноническими и доказала их единственность. Тем самым была выявлена центральная роль свойства универсальности при описании гомеоморфных борелевских множеств. Эти исследования привели ее к проблеме универсальности борелевских множеств и к проблеме условий существования открытого отображения между борелевскими множествами. В статье приводятся такие условия и рассматриваются подобные вопросы для замкнутых, компактно накрывающих, гармонических и других стабильных отображений.