Многовременные пропагаторы и условие согласованности

Для нерелятивистской квантовой системы $N$ частиц волновая функция является функцией $3N$ пространственных координат и одной временно́й координаты. Релятивистское обобщение волновой функции зависит от $N$ временны́х переменных и известно как многовременная волновая функция. Ее эволюция описывается $N$ уравнениями Шредингера, по одному для каждой временной переменной. Чтобы система уравнений имела нетривиальное решение, $N$ гамильтонианов должны удовлетворять условию совместности, также называемому условием интегрируемости. В настоящей работе условие интегрируемости выражено в терминах лагранжианов. С помощью фейнмановского подхода к квантовой механике получена эволюция волновой функции по $N$ временным переменным. Уравнения этой эволюции совместны тогда и только тогда, когда $N$ лагранжианов удовлетворяют определенному соотношению, называемому условием согласованности, которое можно записать в терминах линии Вильсона. Условие согласованности порождает ключевое свойство эволюции волновой функции: независимость эволюции от траектории в пространстве временных переменных. Это дает основания предполагать, что необходимо учитывать все возможные траектории не только в пространстве зависимых (пространственных) переменных, но и в пространстве независимых (временных) переменных. С геометрической точки зрения условие согласованности можно рассматривать как условие нулевой кривизны, а многовременные эволюции – как согласованные параллельные переносы в плоском пространстве временных переменных.