Основанные на подобии редукции пиконного уравнения: $b$-семейство

$b$-Семейство – это однопараметрическое семейство гамильтоновых дифференциальных уравнений неэволюционного типа в частных производных, возникающее в теории волн на мелкой воде. Оно имеет разнообразные решения, в том числе знаменитые пиконы, которые представляют собой слабые решения в виде солитонов, имеющих острые пики, с разрывами первой производной в точках максимумов, а также другие интересные решения, которые были получены ранее точно и/или численно. В каждом из частных случаев $b=2$ и $b=3$ (отвечающих уравнениям Камассы–Холма и Дегаспериса–Прочези) уравнение вполне интегрируемо в том смысле, что оно допускает пару Лакса и бесконечную иерархию коммутирующих локальных симметрий, но неинтегрируемо для других значений параметра $b$. Обсуждаются решения типа бегущих волн, полученные с использованием преобразования взаимности, сводящееся к преобразованию годографа на уровне обыкновенного дифференциального уравнения, которому удовлетворяют эти решения. Далее та же техника применяется к решениям уравнения $b$-семейства, полученным посредством масштабного подобия. Показано, что при $b=2$ или $b=3$ основанная на таком подобии редукция связана преобразованием годографа с частными случаями уравнения Пенлеве III, в то время как для всех других значений $b$ получающееся в результате обыкновенное дифференциальное уравнение не относится к типу Пенлеве.