Минимальные реализации и масштабная инвариантность дискретной иерархии КП и ее строгой версии

Дискретная иерархия КП и ее строгая версия представляют собой две деформации коммутативной алгебры $k[\Lambda]$ в алгебре $\mathrm{Ps}\kern1.1pt\Delta$ псевдоразностных операторов. Здесь $\Lambda$ – ($\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$-матрица, соответствующая оператору сдвига, и $k=\mathbb{R}$ или $k=\mathbb{C}$. При этих деформациях элементы матриц, принадлежащих алгебре $\mathrm{Ps}\kern1.1pt\Delta$, берутся из коммутативной $k$-алгебры $R$. Две эти деформации обсуждаются с более широкой точки зрения: они рассматриваются не в окружении, а в предокружении. В рамках такого более общего подхода представлено несколько $k$-подалгебр в $R$, устойчивых относительно базовых дифференцирований в $R$, причем производные коммутируют на этих $k$-подалгебрах. С их помощью определены минимальные реализации обеих деформаций. Рассмотрена связь этих реализаций с решениями в различных окружениях. С использованием построенных реализаций показано, что обе иерархии обладают инвариантными масштабными преобразованиями.