Задачи Коши, связанные с интегрируемыми матричными иерархиями
Г. Ф. Хельминк Korteweg-de Vries Institute, University of Amsterdam, Amsterdam, The Netherlands
Аннотация:
Обсуждается разрешимость двух задач Коши для матричных псевдодифференциальных операторов. Первая из них связана с множеством матричных псевдодифференциальных операторов отрицательного порядка, ярким примером которого является множество строго интегральных частей произведений решения
$(L,\{U_\alpha\})$ $\mathbf h[\partial]$-иерархии, где
$\mathbf h$ – максимальная коммутативная подалгебра в
$gl_n(\mathbb{C})$. Показано, что эта задача Коши имеет решение, если используемое для нее окружение удовлетворяет условию полной совместности. Вторая задача Коши немного более общая, она связана с набором матричных псевдодифференциальных операторов порядка меньше или равного нулю. Ключевым примером здесь является совокупность интегральных частей различных произведений решения
$\{V_\alpha\}$ строгой
$\mathbf h[\partial]$-иерархии. Эта задача Коши разрешима, если выполняются два свойства: полная совместность и коши-разрешимость в размерности
$n$. Показано, что оба условия выполняются в окружении, основанном на алгебре формальных степенных рядов.
Ключевые слова:
задача Коши, формальные степенные ряды, интегрируемые деформации, матричные псевдодифференциальные операторы,
$\mathbf h[\partial]$-иерархия, строгая
$\mathbf h[\partial]$-иерархия, уравнения нулевой кривизны.
Поступило в редакцию: 27.09.2022
После доработки: 14.12.2022
DOI:
10.4213/tmf10378