Существование решений системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейностью модульно-кубического типа

Для исследования существования решений одномерной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных применен асимптотический анализ. Особенностью задачи является наличие разрыва первого рода в правой части уравнения $\varepsilon^4u''=f(u,v,x,\varepsilon)$ по неизвестной переменной $u$ на уровне $u=0$, в то время как правая часть второго уравнения $\varepsilon^2v''=g(u,v,x,\varepsilon)$ считается гладкой по всем переменным. Сформулировано определение обобщенного решения задачи в терминах дифференциальных включений. Предложены условия, при которых обобщенные решения превращаются в сильные, а также исследована возможность того, что $u$-компонента решения только один раз пересекает ноль. Для доказательства теорем существования используется асимптотический метод дифференциальных неравенств.