Кластерные переменные для аффинных систем Ли–Пуассона

Показано, что для произвольной планарной (с циклами или без) направленной сети на диске в случае, когда все $n_1+ m$ источников отделены от всех $n_2+ m$ стоков, можно параметризовать элементы аффинной алгебры Ли–Пуассона $R(\lambda,\mu) {\stackrel{1}{T}} (\lambda) {\stackrel{2}{T}}(\mu)= {\stackrel{2}{T}}(\mu) {\stackrel{1}{T}}(\lambda)R(\lambda,\mu)$ с $({n_1\times n_2})$-матрицами $T(\lambda)$ в терминах кластерных переменных. Если при этом имеют место определенные соотношения матричного обращения, можно расширить эту конструкцию до реализации квантовой алгебры петель. Из квантовой алгебры петель затем строятся алгебры скрученных янгианов, или, эквивалентно, алгебры квантового уравнения отражений. Исходя из произвольной планарной сети тем самым можно построить симплектический лист соответствующей бесконечномерной алгебры.