$P_\infty$-алгебра симметрий уравнений Кадомцева–Петвиашвили, свободные фермионы и $2$-коцикл в алгебре Ли псевдодифференциальных операторов

Вводится алгебра симметрий $P_\infty=W_\infty\oplus H\oplus I_\infty$ интегрируемой системы. В качестве примера получены классические точечные симметрии лиевского типа для всех старших уравнений Кадомцева–Петвиашвили. Показано, что одна (“положительная”) половина точечных симметрий принадлежит к классу $W_\infty$-симметрий, в то время как другая (“отрицательная”) половина лежит в классе $I_\infty$-симметрий. Соответствующее действие на тау-функции задается операторами из положительной части алгебры симметрий. Отрицательные операторы не могут быть получены из алгебры свободных фермионов. Новое вложение алгебры Вирасоро в алгебру $\operatorname{gl}(\infty)$ задает конформные преобразования временных переменных уравнений Кадомцева–Петвиашвили. Коцикл алгебры свободных фермионов описан как коцикл в алгебре Ли псевдодифференциальных операторов.