Нелинейные дифференциальные операторы первого и второго порядков, обладающие инвариантными линейными пространствами максимальной размерности

В связи с подходом к построению точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, предложенным в работах С. С. Титова и В. А. Галактионова, возникает задача об описании нелинейных дифференциальных операторов $F[y(x)]$, обладающих конечномерными инвариантными линейными пространствами. Ранее доказано, что в случае операторов $m$-го порядка размерность инвариантного пространства не превосходит $2m+1$. В настоящей работе рассматриваются случаи, когда эта величина достигается. Изучаются операторы первого и второго порядков. Доказана их квадратичность по $y$. Дано полное описание операторов первого порядка, а также квадратичных операторов второго порядка с постоянными коэффициентами.