$d\le 1\cup d\ge 25$ и КП-иерархия со связью из БРСТ-инвариантности в топологической алгебре с $c\ne 3$

Условие БРСТ-инвариантности для представления старшего веса топологической ($\equiv$ твистованной $N=2$) алгебры выражает “инвариантное” содержание двумерной гравитации, взаимодействующей с материей. Топологическая алгебра допускает либо ДДК-одетую материю, либо ‘KM’-одетую материю, связанную с КП-иерархией, подчиняющуюся условиям вирасоровских связей. Стандартная ДДК-формулировка восстанавливается расщеплением топологических генераторов в $c=-26$ репараметризацию духи+материя+“Лиувилль”, в то время как подобное расщепление, включающее $c=-2$ духи, приводит к материи, одетой в точности тем путем, который требуется для того, чтобы теория была эквивалентна вирасоровским связям в КП-иерархии. Два одевания материи “Лиувиллем” отличаются также своими “духовыми числами”, что аналогично существованию представителей БРСТ-когомологий с различными духовыми числами. Условие "топологический центральный заряд $c\ne 3$" обеспечивает двукратное накрытие разрешенной области $d\le 1\cup d\ge 25$ центрального заряда материи $d$ через $d(c+1)(c+6)(c-3)$. “Лиувиллевское” поле идентифицируется как не содержащая духов часть топологического $U(1)$-тока. Конструкция, таким образом, позволяет установить прямое соответствие (предположительно эквивалентность) между вирасоровскими связями в КП-иерархиях, минимальными моделями и условием БРСТ-инвариантности на состояниях старшего веса в топологической алгебре.